推介《邏輯》 | 一本小書用一章解釋了哥德爾不完備定理【what7iread #12】

那些我們一般來說，會比較多是那些叫做informal logic- 非形式邏輯，意思是它不是那麼強調某些邏輯的形式、結構，是比較關於我們日常生活中種種不同的處境，我們在裡面應該怎樣思考，有甚麼可能的問題要避免呢? 但是有另一位室友，他對邏輯的渴求，不僅僅是非形式的邏輯。

其實在大學裡面的邏輯研究，當慢慢讀上去的時候，更加多的邏輯研究是放在我們所謂的形式邏輯-formal logic上面，就是嚴格地、嘗試將人類應該怎樣思考，變成一個形式和符號的系統，作一個抽象的系統，去幫我們更加好地把握人類思維的狀態，還有人類應該怎樣思考，才是正確的思考呢? 所以慢慢讀上去的時候，尤其是在大學裡面，我們都慢慢越讀越多形式邏輯，去到最後，甚至全部都是形式邏輯。所以如果有些室友覺得，我不是只是想停留在非形式邏輯的層次，嘗試想跨過形式邏輯的門檻，想看看在大學裡面如果再研究形式邏輯，究竟可以怎樣研究，究竟抽象的邏輯思維可以怎樣表達的時候，就不得不研究一下形式邏輯。

但形式邏輯要入門又不是那麼容易，當然如果有機會在大學修讀課程的話，是一個很好的入門機會，但有時候沒有機會、或者根本沒有空間去修讀的時候，那又樣好呢?

所以今天就和大家推介一本小書，這本小書就是哲學家Graham Priest 寫的Logic: A Very Short Introduction，一個很簡單對於邏輯的入門。當然大家見到這本書，都可能有人認得他這個系列，牛津出版社出的這個系列，是非常有名的A Very Short Introduction去介紹很多不同的學科、不同的概念、不同重要的東西。在哲學裡面當然有很多這本書介紹的東西，為甚麼推介這本書呢?

當然有幾個原因，第一個原因：很重要，甚至我認為最重要，就是它夠短。大家可能買書有很多經驗，就是買回來之後，看了頭三頁之後就沒有再看過那本書。而且很多時候看到中間，可能比較吃力、或者上班比較累，就沒有辦法再看下去，而A Very Short Introduction to Logic 這本書的一大好處就是，它只有130多頁，所以是真的有機會完成，這是一個很重要的優勢。

另一方面，它是不預設任何背景知識，所以你完全對於那些甚麼Validity 種種所謂很抽象的邏輯概念沒有任何理解的時候，都不要緊，它會由零開始教你。當然你可以說平時我看那些邏輯的教科書，看起來很厚的，本本都六七百頁的，為甚麼一本百多頁的小書就可以介紹到呢? 事實上當然是不行，如果真的要認真學習的話，那些六七百頁的教科書，可能是你要找的入門書，但是我覺得作為一個入門，其實這本書就是一個很好的空間，在不預設任何背景知識的情況下，容許你可以理解一下形式邏輯是做甚麼的。當然它不只是這麼簡單。

另一個很大的優勢就是- 大家可能都知道，形式邏輯還可以分成兩種，如果你在大學裏面讀一個入門的課程去學習甚麼是邏輯的時候，往往教的全部都是所謂的古典邏輯Classical Logic，那是很重要的，的確是的。 但如果你說我想用一個比較短的時間去了解一下，其實有沒有甚麼較新的邏輯 發展的時候，那就不得不看看一些 Non-Classical Logic 非古典邏輯的東西。但平時看那些門檻很高，看完六七百頁的書之後，才有機會可以再讀上去，那你一早就搞不定了。但這本書就很簡單，它除了頭兩三個章節是介紹一些基本的古典邏輯概念之外，後來它就已經開始進入非古典邏輯的一些範疇，那會推到很多很有趣的題目，包括了我們所謂的模態邏輯 Modal Logic 即是甚麼叫必然、甚麼叫可能、和邏輯有甚麼關係，可以怎樣幫忙思考。也有所謂Temporal Logic 即是關於時間的，過去現在未來，是不是都有邏輯在裡面呢？有的，它裡面會有Temporal Logic的討論。

甚至有時候我們發現了，邏輯是不是只有True和False的句子？ 在古典邏輯裡面，所有句子不是真就是假，但是我們後來慢慢發現，其實如果你這樣理解，這樣設定系統的時候，就可能有不完備的地方。有很多句子，可能不知道怎麼解決，會不會我們需要有第三個可能，譬如有真和假，作為第三個值，又或者會不會容許一些句子，可以既真且假。甚至有些可能就是有些句子，有些含糊的部分，一個經典例子就是，如果我問大家究竟某個人是不是地中海。如果你知道他兩邊有頭髮、中間沒有頭髮，這個句子當然是真的，他是地中海。但是如果一個人，他兩邊有頭髮，中間也是很多頭髮，這個當然是假的，這個他不是地中海。但是如果我問你，他兩邊有頭髮但是中間有三條毛，那他是不是地中海，你覺得也是地中海。那我說十條呢？二十條呢？五十條呢？去到哪個位置才是地中海，哪個位置才不是地中海呢？邏輯學家就發現了，其實去到後來，這些問題的其中一個解決方法，就是他未必有一個True或者False 去給那個句子。

「這個人是地中海」這個說法，有機會是除了真和假，還有中間很多的可能，如果真是1、假是0的話，可能他是0.3？0.7？或者0.4999？這些我們叫做Fuzzy Logic，就是處理所謂的含糊的問題。這些全部都是一些非古典邏輯會處理的問題，但是我們如果只是看古典邏輯，可能看不到或者學不到。而他竟然可以在百多頁的小書裏面把全部的topic都cover了，而且用一個這麼顯淺易懂的方法令大家明白他在做甚麼，所以是非常推介大家看。

這本書還有兩個原因，我想鼓勵大家試看。第一個原因就是，如果你看到我們這個channel，都可能對哲學有一點點興趣，這本書的作者Graham Priest除了是一個邏輯學家，同時也是一個哲學家，所以他會用很多邏輯的工具去處理哲學問題。所以在這本書裏面你都看到，他每次寫邏輯問題的時候，他的背景都會反映著某一些哲學的思考在裏面，同一時間甚至會直接帶出、去顯示邏輯如何去幫忙處理問題，所以對哲學有興趣的話，又想學一下形式邏輯的話，這本書是其中一個非常好的入門。

另一個原因就是，一般的邏輯入門書是非常淺白的。但是在新的版本裏面，他甚至加了兩個chapter，而那兩個chapter一般的內容是艱深到是會去高階邏輯的課程才會學到。那他為甚麼會放進去？因為Graham Priest對自己有信心，他有信心你看完他書的頭一部份的時候，就算你是一個初入門的人，只要很認真地思考，你都可以看得明白最後兩個難的問題。當然是否真的容易呢? 就見仁見智，但如果你對自己的智力有信心的話，我推介你去看這本書，尤其是最後兩個chapter，看看你能否明白兩個高階的問題。

我自己覺得是一些很有趣的問題，尾二個chapter介紹一個叫Halting problem的問題，即是你知道有時寫電腦程式，程式寫完之後會有些問題。問題在於，在有限的時間裏面是run不完的，不停的loop loop loop，這個會叫停不下來，這個當然是有問題。於是邏輯學家經常有一個疑問，大家會想可不可以有一個程式寫完出來，是判斷到任何一個程式，它是會無限loop下去還是會停機呢? 所以中文叫做停機問題。那有沒有可能呢? 大家就自己看書了。

另一個很有趣而且很出名的問題，就是在最後一個chapter，他討論Gödel的Incompleteness Theorems。這個問題也是很有趣，甚至可以說是20世紀最重要的邏輯定理。簡單來說當我們思考數學系統的時候，我們很多時候都會想這個數學系統是由某些「公理」出發，我們叫做Axiom，是一些不證自明的公理出發，然後慢慢推推推推推到不同的定理出來。所以一個這樣的系統，按道理要麼推出來的就是它的公理本身，或者透過公理推出來其他的東西，即是這個系統會有的Theorem定理，於是我們就可以思考，究竟我們可不可以證明到，數學是一個這樣的公理系統，由某些公理推推推，就會推完所有的Mathematical Truth 數學的真理出來？

但是一個很偉大的邏輯學家Gödel竟然證明了一件事，就是這件事是不可能的。如果一個系統足夠複雜，起碼最簡單，可能處理到一些很簡單的數學，譬如說算術Arithmetic，如果一個處理到算術的系統，原來已經做不到了。他證明了不會有一個公理系統，它可以推推推推到所有把握到算術的真理出來，同一時間它是consistent一致的，沒有矛盾的，所以總是有一些Mathematical Truth 在裡面，而這個系統是證明不了，所以叫做Incompleteness Theorems ，就是「不完備定理」，任何系統足夠複雜去處理到算術的話，它都不可能完備，不可以推出所有算術的真理。那是不是一個很神奇的結論呢？那為甚麼可以推得到呢，當然這個就不能夠三言兩語在這條片簡單介紹到，所以大家有興趣的話可以看看Graham Priest究竟如何用三言兩語又可以介紹到。

那今天介紹 Graham Priest 寫的Logic: A Very Short Introduction 的介紹就到此為止，有興趣的話就看看Graham Priest為甚麼是一個這麼厲害的哲學家，還是那麼厲害的哲學教育家。